前言今天说说二叉树。题解 树首先看看什么是题解树??。 
如图，题解这种有节点的题解结构就是树。 树 是题解n(n>=0)个结点的有限集 其中： 每个元素叫做 节点 上一节是下一节的 父节点，比如1是题解2的父节点 最上面的节点，也就是题解没有父节点的节点叫做 根节点，比如1 同一个父节点的题解节点叫做 兄弟节点，比如2、题解3、题解4是题解兄弟节点 没有子节点的节点叫做 叶子节点 二叉树听名字还是比较好理解的，就是题解每个节点有两个分叉的树。但是题解又不要求一定有两个节点，只要小于等于2个节点就可以。免费信息发布网题解 比如这种： 
其中，题解可以看到绿色的树每个节点都有左右两个节点，这种二叉树就叫做 满二叉树。 还有一种二叉树叫做 完全二叉树。 完全二叉树: 对一颗具有n个结点的二叉树按层编号，如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。 啥意思呢，比如一个满二叉树，每个节点进行顺序编号，如果去了一些节点，编号不会变化，那么就是完全二叉树，比如： 
这张图中，绿色树是满二叉树，当去掉7号节点，变成了黄色树。 这颗黄色树的序号相对于满二叉树的序号都能一一对应，所以这个黄色树就是完全二叉树。 如果去掉的是6号节点，变成红色树，站群服务器这时候，红色树的节点就必须有所变化了，6消失后节点7必须变成节点6才正确。 所以这个红色树就不是完全二叉树，因为它相对于满二叉树序号有所改变，已经对应不上了。 算法——平衡二叉树说了这么多，该来个题练练手了。 输入一棵二叉树的根节点，判断该树是不是平衡二叉树。如果某二叉树中任意节点的左右子树的深度相差不超过1，那么它就是一棵平衡二叉树。 示例 1: 给定二叉树 [3,9,20,null,null,15,7] 3 / \ 9 20 / \ 15 7 返回 true 。 解析题目给出了平衡二叉树的概念，就是任意节点的左右子树相差不超过1，就是平衡二叉树。 那这个深度是啥呢? 深度就是根节点到当前节点经过的边个数 层数就是当前节点在第几层，网站模板跟节点为第一层，所以层数=深度+1 1 深度 0 ，层数 1 / \ 2 3 深度 1 ，层数 2 / \ 4 5 深度 2 ，层数 3 解法1首先容易想到的就是把每个节点的深度都算出来，然后进行左右节点比较就能得出是不是平衡二叉树。 那么节点的子树深度怎么计算呢? 递归。当子节点为空就返回，否则每次增加一个单位深度。 /** * Definition for a binary tree node. * public class TreeNode { * int val; * TreeNode left; * TreeNode right; * TreeNode(int x) { val = x; } * } */ private int depth(TreeNode root) { if (root == null) return 0; return Math.max(depth(root.left), depth(root.right)) + 1; } 深度搞定了，这题就好解了，即遍历每个节点的左右深度，还是要 用到递归： class Solution { public boolean isBalanced(TreeNode root) { if (root == null) return true; return Math.abs(depth(root.left) - depth(root.right)) <= 1 && isBalanced(root.left) && isBalanced(root.right); } private int depth(TreeNode root) { if (root == null) return 0; return Math.max(depth(root.left), depth(root.right)) + 1; } } 从根节点开始，计算每个左子树深度和右子树深度的差值，以及下面的每个节点的左子树和右子树深度，最终得出结果。 这种先处理节点，在处理左子树，再处理右子树 的遍历方式叫做 前序遍历或者先序遍历。 时间复杂度假设节点总数为n，层数为x，二叉树为满二叉树。 时间复杂度计算可以通过 每层的时间复杂度 * 层数复杂度 每层的时间复杂度： 第一层需要遍历n次，第二层需要遍历n-1次，第三层需要遍历n-3次，所以每层的时间复杂度为O(n) 层数复杂度： 第一层为1个节点，第二层为2个节点，第三层为4个节点，第x层为2的x-1次方。 借助公式： n >= 1+2+4+8+...+2^(x-2)+1 n <= 1+2+4+8+...+2^(L-2)+2^(L-1) 计算： n >= 1+2+4+8+...+2^(x-2)+1 n >= (2^(x-1)-1) + 1 n >= 2^(x-1) x <= log2n+1 同理： x >= log2(n+1) 所以一个接近平衡二叉树的高度(层数)接近logn。 所以总的时间复杂度就是 O(nlogn) 空间复杂度由于用到了递归，用到了堆栈帧，之前说过和最大递归深度成正比，所以空间复杂度为O(n) 解法2还有没有更好的解呢? 刚才我们用到的是先序遍历，但是可以发现，每个节点都会计算一遍深度，会有大量重复计算，所以我们可以试试不重复的算法?比如直接后序遍历。 后序遍历：对于任意节点来说，先处理左子树，再处理右子树，最后再处理节点本身。 计算深度还是用到刚才的方法： private int depth(TreeNode root) { if (root == null) return 0; int left = recur(root.left); int right = recur(root.right); return Math.max(left, right) + 1; } 如果能计算左子树深度和右子树深度，那么我们可以直接进行比较，如果发现某个节点的左子树深度和右子树深度相差大于1，那么就可以直接返回false了。 所以综合能得出解法二： class Solution { public boolean isBalanced(TreeNode root) { return recur(root) != -1; } private int recur(TreeNode root) { if (root == null) return 0; int left = recur(root.left); if(left == -1) return -1; int right = recur(root.right); if(right == -1) return -1; return Math.abs(left - right) < 2 ? Math.max(left, right) + 1 : -1; } } 时间复杂度n为总节点，遍历所有节点，所以时间复杂度为O(n) 空间复杂度O(n) 参考 https://leetcode-cn.com/problems/ping-heng-er-cha-shu-lcof/ https://time.geekbang.org/column/article/67856 本文转载自微信公众号「码上积木」，可以通过以下二维码关注。转载本文请联系码上积木公众号。 
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